ut queant laxis
resonare fibris
mira gestorum
famuli tuorum
solve polluti
labii reatum
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Sancte Joannes  (Antiphonale Monasticum, 922, Liber Hymnarius, 382).
　　　　　　　　　　　　　　　

十一世纪，Guido of Arezzo修士，为了让学生记住c-d-e-f-g-a的音调，借用大家都熟悉的圣约翰颂中一段，编了一个记忆方法。他将六个词的前面音节作为音调的名称："ut"、"re"、"mi"、"fa"、"sol"、"la"。演变到了今天，人们用"doh"取代"ut"，并在"la"之后加了"ti"（意大利文）。唱名的写法由此而来。

从此，音乐的传播，在口口相传的基础上迈进了书写记载的历程，如同文字的发明使得纸张、书薄或是网络种种资源亦成为了语言的载体。记录下的音符，给予音乐延续传唱弃旧纳新的发展，令人惊异的是，我们也从乐谱中找到了数学的痕迹。因此，作为一门同样古老的学科，mathematics，与music会有着怎样千丝万缕的关联呢？和谐与美是否是两者契合源？作曲时的人们脑中映射的是理性的公式还是感性的表达呢？……一连串的疑惑贯穿intel teach to future，“问题促进思考，思考才会学习”//略改Pro.加厚话语，Ino如是说。

追溯音乐与数学两者的关系，不得不提到毕达哥拉斯Pythagoras，这位被铿锵的打铁声所吸引，进而从铁锤和铁砧的大小尺寸，猜想并验证音响和谐与发音体之间存在数量比关系的古希腊数学+哲学家。依据他的理论：同度音的弦长比例是1∶1，八度是1∶2，五度是2∶3，四度是3∶4，它们的音响都是完全协和音程；而三度的比是4∶5，六度是3∶5，它们的音响是不完全协和音程；音响不协和的音程其弦长与音高的比例是，二度为8∶9，七度为8∶15 等等，毕达哥拉斯和他的弟子们找出了琴弦长短与确定音高的数比例关系。（备课之余曾用琵琶琴弦模拟过这个实验。没有精准的结果，维一证实的是：弦长不同，音阶不同也。—.—＂）

 音乐是时间的艺术，脱离了时间的技巧，让人难以想象一个个音符同时而杂乱得蹦出折磨着人类娇嫩的耳膜。而声音的本质是一种波。

…………

……

微分方程推倒出正弦y= csin(√k/mt +φ)，证明了声音是时间的三角函数。而我们把音乐的时间性亦称为节奏。倘若没有时间的参与，华尔兹分不清三拍；倘若没有时间给人神奇的延长与压缩感，圆舞曲也无法成为约翰.施特劳斯的独特曲风。

钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键是一个八度音程(如图1)。其中包括13个键，有8个白键和5个黑键，这5个黑键分成2组一组有2个黑键，一组有3个黑键。于是2、3、5、8、13 恰好就是斐波那契数列中的前几个数。不仅如此，众所周知的斐波那契数列著名特点之一是任何相邻两个数，比值都约为黄金比率。听，贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章，全曲73小节，高潮在43小节处形成，与黄金分割基本吻合；听，肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式，全曲共76小节（不计前奏），巧夺天工般在46小节处形成全曲高潮。如此例子，不胜枚举。

许久以前流行的一个游戏是这样的：当双手交叉握的时候，左手拇指在右手拇指之上的人是感性的，而相反的便认为是理性。
　　如果这样的说法的确具有一定的科学根据，倘若回到背山面水、风光绮丽的奥地利古老小镇萨尔斯堡，拜访冠有94%钢琴奏鸣曲都符合黄金分割比例的天才作曲家莫扎特，能否得知他的左手拇指在上还是右手拇指在上呢？他是否可以说清自己在写曲的时候，是灵魂在无意识的运算还是沙沙作响的笔尖激发出那行云流水的灵感呢？
　　“难道不可以把音乐描述为感觉的数学,把数学描述为理智的音乐？”J.J.Sylvester (1814 - 1897)曾抛出肯定的疑问。
　　年轻的我们看待问题的方式常常容易走向非此即彼的模式。面对选择，用哪种方式来思考并不重要，而选择的方式才是关键。在感性情绪到达极至的时刻却选择用理性的方式处理问题，与冷静分析权衡最终却以感性方式决断的两者，应该说并不存在极端感/理性之人。回到Music and Mathematics的话题，我们却也不该用所谓感性与理性标准来硬生将它们开天辟地的划开。
　　思量着，音乐的“感性”或许可以归结于那是一种凭借心中情感酝酿而生成出的曼妙旋律所给予的无限的想象。正像有人用简单的语言力求表述一种过去的某刻心情的时候，不同的眼睛读出了不同的感受。好与坏，美与丑，自音乐产生以来并没有一个标准去衡量，其实也无法衡量——一百个人的眼中有一百个哈姆雷特。即便公认的旋律，听者也受着环境、心境诸多的变数。然而，十进制的阿拉伯数字，相对地却有着特定的准则和要求，同样抽象却是大多被人所了解熟知的约束。数学总给人以确定的归纳概述。简单、深刻而美。比如，所有多面体都必须服从的欧拉公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２；比如，对称美的等差数列的前ｎ项和公式；又比如，E=mc2质能方程；在数学的王国中，严谨、程式化，追求最简，是一步步的用统一的观点去认识世界。相比较音乐的思维，这是截然不同的体验了。
　　音乐与数学的联系从表象上看，它们建立在数字公式的基础上。音乐仿佛是一种隐藏的精确的算术运算练习，而数学是潜意识的心灵寻求和谐简洁的美感。数字、音符、结构、旋律、时间等等因子巧妙的排列……构成了它们一个个关联的结点。
　　从另一个角度上，无论是作曲家或是数学家，他们呈现给我们的就是一个世界，上升于感理性之外的，一个内在和外在共通的世界。

  “这个世界可以由音乐的音符来组成，也可以由数学公式来组成。” 音乐与数学，许是这世上最为通用的语言。 

 ONLINE REFERENCES:  

 "ut queant laxis"
      Pythagoras
      Number Theory in Music: Fibonacci
      The mathematics of musical instruments
      Music: A Mathematical Offering